[[Pasted image 20251113194809.png]] [[Pasted image 20251114165208.png]] # Q&A

要清晰区分泊松分布和二项分布，可从以下维度分析：

维度 二项分布 泊松分布
定义与适用场景 用于描述n次独立重复试验中“成功”的次数，每次试验只有“成功”或“失败”两种结果（如抛硬币n次正面朝上的次数、产品抽样的不合格品数）。 用于描述单位时间/空间内随机事件发生的次数，要求事件发生概率极小且独立（如一小时内电话呼叫次数、一天内医院急诊病人数）。
参数 两个参数：试验次数( n )、每次试验成功的概率( p )。 一个参数：单位区间内事件发生的平均次数( )。
概率质量函数（PMF） ( P(X=k)=pk(1-p){n-k} )（( k=0,1,,n )） ( P(X=k)= )（( k=0,1,2,)）
期望与方差 期望( E(X)=np )，方差( D(X)=np(1-p) ) 期望( E(X)=)，方差( D(X)=)（期望=方差是泊松分布的显著特征）
试验性质 基于有限次离散试验，每次试验结果互斥（成功/失败）。 基于连续区间内的计数，事件发生的概率与区间长度成正比，且不重叠区间内事件发生相互独立。
近似关系 当( n )很大、( p )很小时（( np=)且( )不大），二项分布可由泊松分布近似（即( pk(1-p){n-k} )）。 ——

简单来说，二项分布聚焦“有限次试验的成功次数”，泊松分布聚焦“连续区间内的事件计数”，两者在参数、公式和应用场景上有明确边界。

五大分布核心特征对比表

分布名称 分布类型 参数 核心公式 核心特征 适用场景
伯努利分布 离散型 p（成功概率） - 概率分布：(P(X=1)=p)，(P(X=0)=1-p)

- 期望：(E(X)=p)

- 方差：(D(X)=p(1-p))		 单次二元结果，二项分布的特殊情况（(n=1)） 单次试验的二元结果（抛 1 次硬币、单次抽样合格性）
二项分布 离散型 n（试验次数）、p（成功概率） - 概率质量函数：(P(X=k)=pk(1-p){n-k})

- 期望：(E(X)=np)

- 方差：(D(X)=np(1-p))		 n 次独立伯努利试验的成功次数统计 有限次二元结果试验的成功次数（抛n次硬币正面数、抽样不合格品数）
泊松分布 离散型 ()（平均发生次数） - 概率质量函数：(P(X=k)=)

- 期望：(E(X)=)

- 方差：(D(X)=)		 期望 = 方差，二项分布的极限近似（n大p小） 单位时间 / 空间内稀有事件计数（呼叫次数、疵点数）
正态分布 连续型 ()（均值）、(^2)（方差） - 概率密度函数：(f(x)=e^{-})

- 期望：(E(X)=)

- 方差：(D(X)=^2)		 钟形对称曲线，可通过标准化变换转化为标准正态分布 连续型数据描述（身高、体重、测量误差）
指数分布 连续型 ()（速率参数，(>0)） - 概率密度函数：(f(x)=e^{-x})（(x>0)）

- 分布函数：(F(x)=1-e^{-x})（(x>0)）

- 期望：(E(X)=)

- 方差：(D(X)=)		 具有 “无记忆性”，与泊松分布配套（泊松过程的事件间隔） 寿命类数据、等待时间（电子元件寿命、排队等待时间）