高等数学A1-期末复习

往年期末真题 提取码: f3qh

极限

函数极限

无穷小

极限的计算

重要极限

等价无穷小

洛必达

泰勒公式

数列极限

夹逼准则

连续点与间断点

零点定理与介值定理

零点定理

介值定理

导数与微分

导数概念

求导

反函数求导

复合函数求导

链式法则

隐函数求导

参数方程求导

注意高阶导数求法

高阶导数

莱布尼茨公式

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

泰勒公式

泰勒多项式+余项=泰勒公式

麦克劳林公式：

$$f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x), 其中f^{(k)}(0)是f(x)在x = 0处的k阶导数，k!是k的阶乘，R_n(x)是余项。$$

展开式：

$$\begin{aligned} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots \in(-\infty,+\infty) \\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\frac{1}{5 !} x^{5}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) \\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{4 !} x^{4}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) \\ \ln (1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots, x \in(-1,1)\\ (1+x)^{\alpha}&=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+ x \in[-1,1] \\ \arcsin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} x^{2n+1}=x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40} x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152} x^{9}+\cdots+, x \in(-1,1)\\ \tan x&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2 n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2 n) !} x^{2 n-1}=x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835} x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{638512875} x^{15}+\cdots,x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \end{aligned}$$

单调性与凹凸性

极值与最值

曲率

不定积分与定积分

不定积分

部分积分不能用初等函数表示

积分公式

积分方法

分项积分

1.用分子凑分母拆成多项式的和的积分

2.三件函数变换：平方和（$sin和cos、tan和sec$），二倍角，积化和差

第一类换元

常用凑微分公式（举例）：

$$1） \int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} \int f(a x+b) d(a x+b)(a \neq 0) ；$$ $$2） \int f(\sin x) \cos x d x=\int f(\sin x) d \sin x ；$$ $$3） \int f(\ln x) \frac{1}{x} d x=\int f(\ln x) d \ln x ；$$ $$4） \int f(\sqrt{x}) \frac{d x}{\sqrt{x}}=2 \int f(\sqrt{x}) d(\sqrt{x}) ；$$ $$5） \int f(\arctan x) \frac{d x}{1+x^{2}}=\int f(\arctan x) d \arctan x ．$$

第二类换元

定义：令 $x=\psi(t)$ ，使 $\int f(x) d x=\int f[\psi(t)] \psi^{\prime}(t) d t$ ，其中 $x=\psi(t)$ 单调可导且 $\psi^{\prime}(t) \neq 0$ ．

三角代换 (a>0)

被积函数含 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ，令 $x=a \sin t, t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，则 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a \cos t$ ；

被积函数含 $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ ，令 $x=a \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ，则 \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a \sec t$ ；

被积函数含 $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ ，令 $x=a \sec t, t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] ，则 \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a|\tan t|$ ；

根式代换

被积函数含 $\sqrt[n]{a x+b}$ ，令 $t=\sqrt[n]{a x+b}$ ，有 $x=\frac{1}{a}\left(t^{n}-b\right)$ ．

倒代换

当被积函数分母的最高次数高于分子的最高次数时，可试用倒代换令 x= ．

分部积分

表格法

口诀：反对幂指三（靠后面的放到d后面）

适用范围：幂函数与指数函数/三角函数与指数函数

有理函数积分

1.分母因式分解

2.分子待定系数法

eg.

$$①\frac{2x + 1}{(2x + 3)^2(2x^2 + 3x + 4)} = \frac{A_1}{2x + 3} + \frac{A_2}{(2x + 3)^2} + \frac{Bx + D}{2x^2 + 3x + 4}$$ $$②\frac{2x + 6x^2}{(x - 5)(3x^2 + x + 1)^2} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B_1x + D_1}{3x^2 + x + 1} + \frac{B_2x + D_2}{(3x^2 + x + 1)^2}$$

三角函数有理式的积分

万能代换

三角有理式积分——万能代换公式详细推导_三角有理式积分万能代换推导-CSDN博客

分段函数的积分

1.各段分别求原函数

2.注意分段点一定要连续

定积分

几何物理意义

求数列极限

变限积分

性质： $$\begin{align*} &1)\quad\text{若 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上可积，则函数 }F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt\text{ 在 }[a,b]\text{ 上连续；}\\ &2)\quad\text{若 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上连续，则函数 }F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt\text{ 在 }[a,b]\text{ 上可导，且 }F^{\prime}(x)=f(x). \end{align*}$$

对于可积：有积分值就可积（1.连续；或者2.有界且有有限个间断点）

求导：

积分方法

计算用

证明用

对称区间积分

1.偶倍奇邻

2.$\quad \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)]dx.$

可能遇到的公式： $$\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & x > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & x < 0 \end{cases}$$

换元法

积分换元必换限

华理士公式（点火公式）

$$\text{华理士公式：}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx= \begin{cases} \frac{(n - 1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & n\geq 2 \text{为正偶数},\\ \frac{(n - 1)!!}{n!!}, & n\geq 3 \text{为正奇数}. \end{cases}$$

可能的前置转换： $$\begin{align*} &\text{设 }f(x)\text{ 在区间 }[0,1]\text{ 上连续，则}\\ &1)\quad\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)dx;\\ &2)\quad\int_{0}^{\pi} f(\sin x)dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx,\quad\int_{0}^{\pi} f(|\cos x|)dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)dx;\\ &\text{注：在 }[0,\pi]\text{ 上 }f(\cos^{2} x), f(|\cos x|)\text{ 可以看作 }f(\sin x)\text{ ，}f(\cos x)\text{ 不可看作 }f(\sin x).\\ &3)\quad\int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x)dx;\\ &4)\quad\text{华理士公式：}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n} xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n} xdx=\begin{cases} \frac{(n - 1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & n\geq 2\text{ 为正偶数},\\ \frac{(n - 1)!!}{n!!}, & n\geq 3\text{ 为正奇数}. \end{cases}\\ &5)\quad\int_{0}^{2\pi}\sin^{n} xdx=\int_{0}^{2\pi}\cos^{n} xdx=\begin{cases} 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n} xdx, & n\text{ 为正偶数},\\ 0, & n\text{ 为正奇数}. \end{cases} \end{align*}$$

区间再现公式

反常积分（广义积分）

无穷限的反常积分

无界函数的反常积分

几何学的应用

直角坐标：

极坐标：

立体：

曲线弧长和旋转面面积：

柱壳法：用最硬核的方法讲解大学数学柱壳法，不信你还看不懂

旋转面面积可以理解为周长*弧微分的积分

物理学的应用

微分方程

可分离变量的微分方程

自变量因变量分开在等式两侧同时积分

齐次方程

定义

$$形如 \frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})\ 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称微分方程。$$

特点

$$齐次微分方程的特点是其右端项是以\frac{y}{x}为变元的连续函数。$$$$例如，(x^{2}+y^{2})dx - xydy = 0是齐次微分方程，它可以转化为：\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}，即\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}。$$

方程的解

$$齐次微分方程通过\textbf{变量代换}，可化为\textbf{可分离变量微分方程}来求解。$$ $$令u = \frac{y}{x}或y = ux，$$ $$其中u = u(x)是新的未知函数，对y = ux两边\textbf{求导}，则有：\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}，$$ $$将其代入\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})，得：u + x\frac{du}{dx} = f(u)，$$ $$分离变量，得：\frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}$$ $$两边\textbf{积分}，得：\int \frac{du}{f(u) - u} = \int \frac{dx}{x}，$$ $$求出积分后，再将u = \frac{y}{x}回代，便得到方程\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})的通解。$$

一阶线性微分方程

6.1.3 一阶线性方程的线性、齐次与通解公式-CSDN博客

公式：$y = e^{-\int g(x)dx}[C + \int h(x)e^{\int g(x)dx}dx]$

这里会有更换主元的考法

伯努利方程

这篇文章比较完全：【高等数学】伯努利方程及其求解方法_伯努利方程高数-CSDN博客

可降阶的高阶微分方程

可以连续积分型

一直积分就行了

不显含y型

不限含x型

高阶线性微分方程

利用解的结构（和线性代数的思路相似）

这里会有解的叠加原理的考法

常系数齐次线性微分方程

高阶的例题：

$例6 求方程y^{(4)} - 2y''' + 5y'' = 0的通解.$ 解 这里的特征方程为

$$r^{4} - 2r^{3} + 5r^{2} = 0,$$

即

$$r^{2}(r^{2} - 2r + 5) = 0.$$

它的根是$r_{1} = r_{2} = 0$和$r_{3,4} = 1 \pm 2\text{i}$.因此所给微分方程的通解为 $$y = C_{1} + C_{2}x + \text{e}^{x}(C_{3}\cos 2x + C_{4}\sin 2x).$$

常系数非齐次线性微分方程

微分方程第七节 常系数齐次线性微分方程 - 知乎 (zhihu.com)

附录

积分表