线性代数-期末复习

由于前三章为期中考内容,本文较少涉及

前两章内容可以看伍耀文同学整理的：

复习资料 提取码: qaus

以下为杭电历年期末试卷：

历年真题 提取码: p8bf

第1章

沙路法（萨吕法则）适用范围

三阶以上行列式不适用

萨吕法则-数学百科 (shuxueji.com)

第2章

矩阵的秩

$$定理2 若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} ，则 R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B}) （充要条件）$$ $$（1） 0 \leq R\left(\boldsymbol{A}_{m \times n}\right) \leq \min \{m, n\}$$ $$（2） R\left(\boldsymbol{A}^{T}\right)=R(\boldsymbol{A})$$ $$（3）若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} ，则 R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})$$ $$（4）若 \boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q} 可逆，则 R(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q})=R(\boldsymbol{A})$$ $$（5） \max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \leq R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leq R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})$$ $$（6） R(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leq R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B})$$ $$（7） R(\boldsymbol{A B}) \leq \min \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\}$$ $$（8）若 \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{B}_{n \times l}=\boldsymbol{O} ，则 R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B}) \leq n$$

易忘记的计算公式

$$AA^{*} =A^{*}A=\left |A \right | E$$

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组

初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算。

初等变换有三种 [2]

（1）交换矩阵中某两行（列）的位置；

（2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；

（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。

三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。

初等矩阵相加/相乘不一定为初等矩阵

线性方程组的解

第4章 向量组的线性相关性

判别向量组的线性相关性

数字型

两个向量对应成比例

多个向量：方阵行列式=0或者矩阵的秩=向量个数

个数>维数一定相关

抽象型

1.抽象向量组的表示方法（逆向思维）：

eg.

$$\left(\alpha_{1}, \alpha_{4}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right)=\left(\alpha_{1}+3 \alpha_{2}, 2 \alpha_{1}+4 \alpha_{2}\right)$$

2.判断是否可逆

无关组*可逆阵->无关

无关组*不可逆阵->相关

基变换公式和坐标变换公式

基变换公式

取旧基为$a_{1}， a_{2}，…，a_{n}$，新基为$b_{1}， b_{2}，…，b_{n}$，则$B=AP$(A，B为对应基构成的矩阵)，此式为基变换公式，P为从基$a_{1}， a_{2}，…，a_{n}$到基$b_{1}， b_{2}，…，b_{n}$的过度矩阵 ,其中 $P=A^{-}B$

坐标变换公式

定义11 设 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \cdots, \boldsymbol{a}_{n}$ 与 $\boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \cdots, \boldsymbol{b}_{n}$ 是向量空间 V 的两个基． $\forall \boldsymbol{\alpha} \in V$ ，设 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的坐标为 $\boldsymbol{x}$ ，在基 $\boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \cdots, \boldsymbol{b}_{n}$ 下的坐标为 $\boldsymbol{y}$

有$x=Py$，称为坐标变换公式。($y=P^{-}x$)

求向量组的秩和最大无关组

秩=矩阵阶梯型非0行数

极大无关组一般取“拐弯处”所在的列向量

基础解系

齐次线性方程组的解空间的一个基为该齐次线性方程组的基础解系

线性方程组构成的矩阵$A_{m\times n }$基础解系所含解向量的个数=n-r(A)个=自由变量个数

第5章 相似矩阵及二次型

柯西-施瓦兹不等式

柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式_柯西施瓦茨不等式-CSDN博客

相似矩阵的性质

若A与B相似，则有

$$detA=detB$$ $$tr(A)=tr(B)$$ $$r(A)=r(B)$$ $$\lambda _{A} =\lambda _{B} ,\lambda 为特征值$$

施密特正交化公式

详解+示例:线性代数学习笔记——第七十讲——格拉姆—施密特（Gram-Schmidt）正交化方法-CSDN博客

公式

$$\begin{array}{l} \beta_{1}=\alpha_{1} \\ \beta_{2}= \alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1} \\ \beta_{3}= \alpha_{3}-\frac{\left(\alpha_{3}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{3}, \beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)} \beta_{2} \\ \ldots \ldots \ldots \\ \beta_{s}= \alpha_{s}-\frac{\left(\alpha_{s}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{s}, \beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)} \beta_{2}-\cdots-\frac{\left(\alpha_{s}, \beta_{s-1}\right)}{\left(\beta_{s-1}, \beta_{s-1}\right)} \beta_{s-1} . \\ \ldots \ldots \ldots \\ \gamma_{i}=\frac{1}{\left\|\beta_{i}\right\|} \beta_{i} \quad(i=1,2, \cdots, n) \end{array}$$

已知特征值和特征向量求原矩阵

知全部型

由$$A=P\Lambda P^{-1}$$可得A

知部分+实对称阵

先根据特征向量正交求出剩余的特征向量

再由$$A=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$$可得A

“不同特征值对应的特征向量不可以进行正交化”的理解

“不同特征值对应的特征向量不可以进行正交化”的理解_特征向量正交化-CSDN博客

总结：不同特征值对应的特征向量进行施密特正交化会导致新向量对应的特征值发生改变。

矩阵等价，相似，合同

一图说明矩阵等价，相似，合同_矩阵等价相似合同的区别-CSDN博客

正定的判定方法

1.A的特征值全大于0（即f的正惯性指数（标准型中正平方项个数）=未知数个数）

2.A的各阶顺序主子式全大于0